Högnhöfði er tignarlegt fjall norður af Brekkuskógi í Biskupstungum en nafnið vekur ekki síður athygli en brattar brekkurnar. Ýmsar kenningar eru um nafngiftina en fjallið minnir óneitanlega á kött sem leggst á framfæturna og má með góðum vilja sjá glitta í kattareyru efst. En það hafa verið fleiri kenningar um nafngiftina, t.d. táknar orðið hogn á nýnorsku hvassan fjallshrygg og áður var högn notað á íslensku um staði sem skera sig úr í landslagi. Kisukenningin er þó skemmtilegri og þegar gengið er á fjallið er gaman að ímynda sér risakött sem horfir í átt að Brekkuskógi. Nágrenni Högnhöfða er ekki síður spennandi en fjallið sjálft og útsýni af tindinum er af dýrari gerðinni. Vestur af fjallinu er Rótasandur en þar á Brúará upptök sín áður en hún steypist niður hrikaleg gljúfur, Brúarárskörð, og síðan áfram suður að Brekkuskógi. Þarna hefst fjallahringur sem nánast umlykur Högnhöfða með Rauðafelli, Skriðu og Skjaldbreið í broddi fylkingar en líka Fantófelli, Þórisjökli, Geitlandsjökli og píramídalaga Klakk í Langjökli. Mest áberandi eru þó tveir nágrannar í norðri, stapinn Hlöðufell (1188 m) sem óneitanlega minnir á Herðubreið, og torkleifir Kálfstindar (846 m). Í austri sést síðan vel til Heklu og sunnar í Tindfjöll, Eyjafjallajökul og Vestmannaeyjar.
Það er auðvelt að ganga á Högnhöfða þótt sumar brekkurnar sé nokkuð brattar og lausar í sér. Því er skynsamlegt að hafa meðferðis göngustafi og í vetrarferðum mannbrodda og ísöxi. Skammt frá Brekkuskógi er bærinn Úthlíð en þaðan er hægt að aka inn að Högnhöfða. Tilvalið er að leggja bílum og hefja gönguna við mynni Brúarárskarða við fallegt tjaldstæði á svokölluðum Höfðaflötum. Fyrst er gengið upp birkivaxnar hlíðar og síðan áfram meðfram gljúfurbörmum Skarðanna. Smám saman er komið að stórfenglegri fossaröð og steypast sumir þeirra beint út úr gljúfurveggnum. Aðeins ofar er Strokkur (517 m), lágvaxið fjall sem ber nafn með rentu, en áður en komið er að honum er sveigt til norðurs upp suðurbrekkur Högnhöfða. Þar tekur við slétta að sjálfum tindinum. Hægt er að halda sömu leið til baka eða velja eystri leið niður að bílastæðinu. Þetta er 14 km ganga fram og til baka en sprækt göngufólk getur lengt gönguna talsvert með því að hefja hana í Brekku- eða Miðhúsaskógi. Að sumri til er einnig hægt að hefja gönguna af Rótasandi en þangað má komast á fjórhjóladrifnum bifreiðum frá Laugarvatni.